本篇从线性组合出发，首先讨论其所依托的空间结构。随后，讨论生成与独立的概念，即尝试将其余向量用给定向量组的线性组合表示，讨论此种表示的存在性与唯一性。基是同时满足生成性和独立性的向量组，维数给出有限基生成的空间的本质不变量。最后，生成和独立的概念从向量组拓展到子空间上，分别对应和与直和。

线性代数是研究线性空间和线性映射的学科。基本地，我们将 称为线性组合，这是线性空间中元素有限次运算经由化简可得的基本形式；其中， 属于域 ，而 属于 上的线性空间（或向量空间）， 中元素称为向量。以下将分别列出 与 所需满足的性质。首先， 与 需要使得线性组合进行后得到的结果仍然是 中的元素，即线性空间需要对数乘 与加法 封闭。

对于加法而言，我们希望满足加法交换律 ；加法结合律 ；存在单位元（零向量） ，满足 ；对任意 存在逆元（负向量） ，满足 。一般地，对于集合 和其上的运算 ，若其满足结合律、存在单位元、存在逆元，则称 构成了一个群；若 还满足交换律，则称其构成了一个 Abel 群或交换群。

域首先是一个 Abel 群 ；同时 也构成一个 Abel 群，其中 是加法单位元，其有乘法单位元 ；最后，加法与乘法间满足分配律，即 。我们将会讨论的情况中， 可能为实数域 或复数域 ，它们因为额外分析和代数性质而便于研究。

接下来需要考虑域中数对向量的作用。为了使得由向量加法与数乘有限次构成的形式表达式，都能够整理为线性组合的形式，我们要求数乘结合律 ，以及数和向量的相互分配律 ，。同时，我们固定 ，使 作为单位元的地位在数乘作用中也得到保持。

是最常见的 上的线性空间，其具有 个分量，每个分量均属于 ，记为 ， 为第 分量；向量加法定义为各分量分别相加，数乘定义为分别乘各分量。

若向量 可以表示为一个向量组 的线性组合，则称 可由 线性表示；此处向量组指有序的若干向量，但不强调顺序时也可认为是向量的可重集合。为讨论线性空间 内的向量是否能被 线性表示，以及这样的表示是否唯一，我们考虑可由 线性表示的向量的集合，其在 的加法和数乘下构成了一个新的线性空间，称为这组向量线性生成（简称生成或张成）的空间，记作 ；一般地，若 的非空子集 在 的向量加法和数乘下仍构成线性空间，则称 是 的子空间，其事实上只需验证对加法和数乘的封闭性。向量组 生成的空间，是 中的所有子空间中包含 的最小子空间，此处的最小指任意包含 的子空间也包含 。

若 中的任意向量由 中向量线性表示的方式唯一，则称 线性无关，这等价于 中任意向量不能由其中其它向量线性表示，也等价于 能被 中向量唯一表示，即所有系数均为 （将 的两种表示 与 作差得 ）。若 可以由线性无关的 生成，则称 为 的一组基。若 存在一组有限个向量组成的基，则称 为有限维线性空间。 中，取标准基向量 为仅第 个分量为 ，其余为 的向量，则有 ， 是 的一组基，故 是有限维线性空间。

我们对不同基间的关系做研究，首先从生成空间的向量组开始，先不要求线性无关，以期得到更广泛的结论。最简单地，我们讨论生成空间的向量组的单步变化的可能性。直觉上，我们可以用 中的任何一个向量 代替 中的向量 ，只要 的线性表示包含 的成分。具体地，对向量组 ，若 ，其中 ，则将 换作 ，仍能生成原空间。这是由于利用 ，新旧生成空间的任意线性表示可以互相代入转换，这里用到了 中乘法逆元的存在性。事实上，空间中的非零向量总可以找到替换的位置，因为它的线性表示中一定有系数非零的向量。

接下来考虑生成空间的向量组的多次变化，即 Steinitz 替换引理，其说明一定可以将一个线性无关的向量组 全部替换进原向量组 中，考虑多次运用单步替换即可证明。需要注意，此处线性无关的要求是必须的，可以设想不能同时把 替换进一个本身线性无关的 ；而 线性无关时，每次可在 原本的向量中找到系数非零者进行替换，否则新向量完全由 中向量线性表示，与 线性无关矛盾。由此，空间中线性无关向量组中的向量的个数不超过生成空间的向量组中向量的个数，对称运用此结果可证明，有限维线性空间 的任意两组基拥有相同的向量数量，此数量称为 的维数，记作 。易见 。替换引理同时也说明 中任意线性无关的 个向量都是其一组基。

设有限维线性空间 的一组基为 ，则每个 唯一对应一组系数，将这组系数作为 中向量的分量，记作 ， 与 由此建立了一个双射 。记 ，有

即 保持向量加法与数乘，归纳可得 保持线性组合。一般地，线性空间间保持加法与数乘的双射称为一个同构（或同构映射）。同时，若 与 存在一个同构，则称 与 同构，记作 ，由于同构的复合、逆仍然是同构，且恒等映射（）是同构，此处的同构是一个等价关系。若不与其它对象关联，可以认为，在只研究某个线性空间的结构时，同构的两个线性空间无法区分。为一个有限维线性空间选择一组由 个向量组成的基（需规定基中向量的顺序），等价于为其选择了到 的一个同构，这说明维数相等是有限维线性空间同构的充要条件，即 ，从而 等价于 。

最后讨论子空间的运算，以及有限维情形下的刻画。以下设 是 的子空间。与子集相似，子空间的交是子空间；但子空间的并一般不是子空间，为保持线性结构，我们使用子空间的和，其定义为包含参与运算的子空间的最小子空间，其可表示为 。向量组线性生成的空间可视为子空间和的特殊情形，即各向量分别生成的至多一维子空间（因可能有零向量）的和；同时，子空间的和也可以归为生成各子空间的向量组的并生成的空间。

与线性无关对应，称子空间的和为直和，若和的每个向量表示为各子空间中向量和的形式是唯一的，此时记 为 ；考虑 的表示唯一性，可推出和为直和等价于 （需注意，推广到多个子空间时，只考虑两两交或全体交是不足够的，需逐步求和，考虑每个子空间与前面子空间之和的交）。向量组线性无关时，其生成的空间是各向量分别生成的一维子空间的直和；同时，参与子空间直和的各子空间的基构成的向量组线性无关，且是直和的一组基。若 ，则称 为 的一个补空间，易知补空间一般不唯一。

直觉告诉我们，真子空间（即不等于原空间的子空间）与原空间不同构，这在有限维线性空间是正确的，这也意味着二者维数应当不同，具体证明采取单步调整的思路。首先证明子空间也是有限维的，这只需要从空向量组开始，逐步向向量组内添加尚无法线性表示的子空间中的向量，由于这一添加次数不能超过原空间的维数，这证明了 是有限维的，且 ；进一步运用此思路，从 的一组基开始，总可以通过不断往里添加 中尚不能表示的向量，最终可得到 的一组基，这称为基扩张。

基扩张过程中添加的向量张成的空间，正是子空间的一个补空间，故补空间的维数等于原空间维数减去子空间的维数；类似地，直和的维数等于维数的和。对于一般和的维数有 ，这是由于 的基可分别扩充为 的基，原本的基与两次扩充添加的向量一起构成 的一组基。