白鲟鱼缸

Cauchy 列与完备性，上下极限与子列极限（续）Cauchy 列定义为 \forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n,m>N,|a_n-a_m|N,p\geq 1，比较指标 n,n+p），但不能限定两指标间的较强代数关系（例如限定 |n-m| 为常数）。若可以找到 |a_n-a_m| 的一个只关于单指标 n 的上界，且上界随 n 增大趋于 0，也可以说明是 Cauchy 列。 收敛数列一定是 Cauchy 列，这来源于三角不等式 |a_n-a_m|N,p\geq 1,|x_n-x_{n+p}|0，\exists N，\forall n>m>N，|x_n-x_m|=\sum_{k=m+1}^n u_kN_2,p_2\geq 1，使得 |x_{n_2}-x_{n_2+p_2}|\geq \varepsilon，如此进行 t=\left\lceil \dfrac{c}{\varepsilon}\right\rceil 次，有 \sum_{k=n_1}^{n_t+p_t-1}|x_{k+1}-x_{k}|\geq \sum_{k=1}^t|x_{...

生成式人工智能蓬勃发展的年代，数学究竟能够带给我们什么，是值得思考的问题。对大多数习题课上的同学而言，终其一生所需要的数学，已经不会超过目前大语言模型的能力了。那么为什么要学习数学，要学习数学的哪些部分？ 我个人的看法是，数学可以加深对结构的认识，培养正确或至少是不错误的直觉；我相信，正确地学习数学可以提高研究的品味（taste）。何谓正确地学习数学？大量的计算练习不是那么重要，计算机完全能够胜任；同时，不应把追求难度较高的技巧作为学习的目标，技巧和难度很多时候意味着理解不够，正所谓“大巧不工”，正确的理解会让原本复杂的问题以自然的形式展现。不过，必要的计算需要做，一方面落实手感，另一方面可以取得课上的分数；适当的技巧需要掌握，一方面提高效率，另一方面技巧本身是一种探索，完全忽视技巧也不符合知识发展的规律。 习题课上，主要会强调三个方面的内容：第一是内在结构，即我们所讨论的内容由什么所保证，有什么视角可以改变对它们的看法，导向更普遍的内容；第二是技术思想，即为处理问题所需要的常用方法和技术，以及技术背后蕴含的一些思想；第三是特殊对象，它们是具有较好性质的具体对象，并且常常可以引向...

乔姆斯基《句法结构》阅读笔记，包含大语言模型辅助理解。参考译本是商务印书馆本，这本看起来翻译得还不错。 1. 引言将语法视为可以产出被分析的语言中的句子的装置，乔姆斯基认为语言学家最终应该产出一套语言结构理论，使得给出一套语料，可以为这套语料所属的语言选择语法。 语言层面（linguistic level）包括音位层、形态层、短语结构层等，不同的语言层面限定了用于构建语法装置的不同工具集合。 总体愿望是较为宏伟的，并且有趣。唯一问题在于这里的语法有多强。 2. 语法的独立性语言 L 的语法是生成所有合语法（grammatical）序列，不生成不合语法（ungrammatical）序列的装置。这主要是把句子（sentence）和非句子（nonsentence）区分起来，让语法能够识别清晰的句子和非句子，并由语法自身去决定较模糊的中间状态是句子还是非句子。 符合其愿望。 理论需要符合三点：第一是用有限语料预测无限句子可能；第二是区分语义和语法，合语法性不能以有意义性来定义；第三是不将其当作高阶统计近似值，合语法句不等于出现概率高的句子，出现概率几乎为零的句子不等于不合语法句，不是用不...

本篇从线性组合出发，首先讨论其所依托的空间结构。随后，讨论生成与独立的概念，即尝试将其余向量用给定向量组的线性组合表示，讨论此种表示的存在性与唯一性。基是同时满足生成性和独立性的向量组，维数给出有限基生成的空间的本质不变量。最后，生成和独立的概念从向量组拓展到子空间上，分别对应和与直和。 线性代数是研究线性空间和线性映射的学科。基本地，我们将 \sum_{k=1}^na_k\boldsymbol v_k 称为线性组合，这是线性空间中元素有限次运算经由化简可得的基本形式；其中，a_k 属于域 \mathbb F，而 \boldsymbol v_k 属于 \mathbb F 上的线性空间（或向量空间）V，V 中元素称为向量。以下将分别列出 \mathbb F 与 V 所需满足的性质。首先，\mathbb F 与 V 需要使得线性组合进行后得到的结果仍然是 V 中的元素，即线性空间需要对数乘 \lambda\boldsymbol v,\lambda\in\mathbb F 与加法 \boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2 封闭。 对于加法而言，我们希望满足加法交换...

efficacyn.[U]（应然的）效力，通常指方法、药物。与 efficiency 效率/效益和 effectiveness （实然的）效果不同。 amicableadj. 友善的，不伤和气的。拉丁语词源 amicus。~ manner/divorces/settlement。 puerileadj. 孩子气的，幼稚的。拉丁语词源 puer。 magisterialadj. 权威的；或傲慢的，居高临下的。拉丁语词源 magister。~ presence/work。 pulchrituden.[U] （尤指女性）美丽的。拉丁语词源 pulcher。 pulchritudinous adj.。 relinquishv.[T] 放弃（责任等）；（不情愿地）松开，交出。拉丁语词源 relinquō。~ claim/control (to)/hold/grip (on)。 interrogatev.[T] 审问，讯问；（计算机）查询。拉丁语词源 interrogō。~ a database。 interrogation n. subjected to ~。 magistraten.[C...

维特根斯坦《逻辑哲学论》阅读笔记，包含大语言模型辅助理解。其书目组织为 n. 是命题 n，n.x 是 n 的评注，n.xy 是 n.x 的评注，类推。参考译本是商务印书馆本，但许多地方并不是特别明确。同时参考德文原本（很可惜暂时我不懂德文，只能看看词的对应）与 1922 年 Ogden–Ramsey 英译。 1. 世界是一切发生的事情。Die Welt ist alles, was der Fall ist. (The world is everything that is the case. ) 中译本翻出了”事情“这么一个词，但事实上德文和英文译本都没有。总之是在强调，世界是一切实际如此的，这暗含着存在那些“不实际如此的”。 1.1 世界是事实的总体，而不是事物的总体。Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge. (The world is the totality of facts, not of things. ) 较重要的评注是 1.13 在逻辑空间中的诸事实就是世界。Die Tatsache...

本篇讨论沿方向观察可微性的方法，借助方向导数与偏导数尝试将可微性坐标化，并讨论其与连续和可微的实际关系。最后，借助极坐标举出关系中的反例。 以下讨论均取欧氏空间上的内积及其诱导的 2-范数、距离与拓扑，g(x)=o(f(x)) 指极限过程中有 \dfrac{\Vert g(x)\Vert}{\Vert f(x)\Vert}\to 0。函数 f:\mathbb R^n\to\mathbb R 在点 x_0 处连续可定义为 f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol x_0)=o(1)，可微可定义为存在线性映射 A， f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol x_0)=A(\boldsymbol x-\boldsymbol x_0)+o(\Vert\boldsymbol x-\boldsymbol x_0\Vert)，极限过程均为 \boldsymbol x\to\boldsymbol x_0。特别地，此处的线性映射是一个线性泛函。由定义首先可知可微必定连续，这是由于 \Vert A(\boldsymbol x-\boldsymbol x_0)\...

任何一个映射 f:X\to Y 都引出两个基本对象，对 A\subseteq X 的像 f(A) 与对 B\subseteq Y 的原像 f^{-1}(B)。对于线性映射 \mathcal A:X\to Y，对应研究子空间 V\subseteq X 的像 \mathcal A(V) 与子空间 W\subseteq Y 的原像 \mathcal A^{-1}(W)。 对原像的研究从单点的原像开始，即纤维。考虑 \mathcal A\boldsymbol x_1=\mathcal A\boldsymbol x_2=\boldsymbol y，有 \mathcal A(\boldsymbol x_1-\boldsymbol x_2)=\boldsymbol 0。考察 \boldsymbol 0 处的纤维 \mathcal A^{-1}(\{\boldsymbol 0\})，即核 \ker\mathcal A，它构成了 X 的一个子空间。任取代表元 \boldsymbol x_{\boldsymbol y}\in \mathcal A^{-1}(\{\boldsymbol y\})，就有...

2025.04.26给狗子充了电。 2025.05.02开始尝试与 3-1 狗子建立连接，阅读 PPT 没明白 Cyberdog2 APP 是怎么突然出现的，咨询后发现是手机 APP，PPT 讲解顺序有点混乱。经过尝试连接成功，但不能站立。根据人工校准的图示，发现确实是位置没摆好，摆好后遥控动作成功。 Cyberdog2 APP 的 UI 与手机型号不适配，IP 显示只能看到 10.0.0 后的一个数字。利用 Advanced IP scanner 根据此信息扫描拿到了狗子的 IP。在个人电脑和 3-1 上开始安装 tightVNC。 晚，WJ 抵达，开始与 3-2 狗子互动。 发现自身系统直接打开 windows powershell 窗口的配色太怪了，不想调，遂换用 vscode 打开。熟悉了 vim 的操作，并完成了 tightVNC 的配置。 3-2 安装了 tightVNC，但出现灰屏。利用群内文件尝试修改 ~/.vnc/xstartup，图形界面出现，但命令行无法输入。3-2 最终决定换用 mobaxterm 进行操作，顺利开始。 通过两处 manual.py 的 g...

2025.04 以 Hexo Butterfly 重启了博客，配置了 Mathjax。 配置了 tags 与 categories，配置了 local_search。 配置了 gitalk。 2025.12 配置了友链。 2026.2 从阿里云购置了域名并迁移。