集合的势

我们的研究对象从数列来到了 上的函数；数列是 到 的映射，而我们将要映射的定义域从 换成 。为了专注于考虑映射定义域的改变意味着什么，我们首先忽略集合上的顺序、运算等结构。如果两个集合之间存在双射，那么在只考虑集合及其间的映射，而不考虑其他结构时，这两个集合是无法区分的。称两个集合是等势的，若它们之间存在一个双射。在有限的情况下，两个集合等势等价于元素个数相同。称集合是可数无穷的，若其与自然数集等势；称集合是可数的，若其是可数无穷或有限的。更形象地说，这等价于存在一个数列包含其中所有元素，也就是这个集合可以被一一列出来，可数有时也称为可列。在有的语境下，可数特指可数无穷而不包括有限，这应当很容易通过上下文区分。

自然数集自身是可数无穷的；事实上，自然数本身由 开始，根据每个数有唯一后继，不断取后继构造得到。偶数集是可数无穷的；一般地，任意正整数 的非负倍数集都是可数无穷的，因为 构成了一个自然数集到倍数集的双射。整数集是可数无穷的，因我们可以先枚举 ，再依次枚举 。

我们接下来证明有理数集也是可数无穷的，这只需证明正有理数是可数无穷的。每一个正有理数可以写成两个正整数 的比，记为 。固定单个分母 ，易见 是可数无穷集。于是，有理数集可以写成 ，也就是可数无穷个可数无穷集的并集（并集运算仍然由并集中的元素属于至少属于其中某一个集合来定义）。我们通过证明可数无穷个可数无穷集的并集是可数无穷集来完成证明。运用数学归纳法，采用与有理数相似的论证，这一结论可以进一步说明， 中的有理点集（每个坐标均取有理数）是可数的。

我们首先把每一个可数无穷集转化为一个数列，那么我们面临的问题即为构造一个数列，能够数遍可数个数列中所有的数，也就是既数遍所有数列，又数遍每个数列中的数。不妨从 开始数，我们的新数列既需要不断数到新的数列，也需要不断推进在旧数列中的下标。后续的构造是多样的，这是由于我们可以改变数到新数列和推进旧数列的频次。一个想法是，我们可以按轮来数，每一轮引入若干新的数列，并在每一个旧数列中推进若干项，进行无限轮以数遍所有数。例如，在第 轮，把前 个数列各往后数一个，即第 轮数 ，这样，越往后数，数到第一个数列的频率就越低；或者，也可以第 个数列向后数 个，这样，无论何时，数到第一个数列的频率都近似于 。这就完成了证明。

最后，我们证明实数集不是可数的，也即是不可数的；特别地， 是不可数的。我们采用经典的对角线论证。假设是可数的，我们将其列出，并采用规范的十进制表示。接下来，我们构造一个 间的实数，使其与整列数都不同，以此证明不存在列遍 中实数的方法。构造方法是让此实数的小数部分第 位与第 个实数的小数部分第 位不同，例如，若其为 则填 ，否则填 。采用对角线论证，也可说明实数列（或整数列）的集合是不可数的。

认识到实数集不是可数的，有助于我们认识函数极限与数列极限的本质不同。定义 ，若对 ，，使得对任意满足 的 ，都有 。由于实数集不可数，我们不能够通过某种精妙的枚举方式，把 的去心邻域（在 上，邻域指包含 的某个开区间；而去心邻域则是邻域去掉 得到的集合）中的所有点放进一个数列，从而把 这一极限过程无损地转化为 的极限过程。

然而，我们的函数极限在很大程度上确实可以通过数列极限进行研究。在数列极限中，我们知道，数列收敛于 等价于所有子列收敛于 ，而某个子列不收敛于 ，则数列不收敛于 ；在函数极限中，所有子列则相应转化为了所有趋于 的数列： 当且仅当所有 （此处考虑的数列满足从某一项起 ，不妨直接取为所有 ），都有 ，这称为 Heine 定理（归结原则）。根据 Heine 定理，若函数有极限，则对应数列收敛，这可以用于数列极限的研究；而若函数不收敛到 ，则存在某个对应数列不收敛到 ，这可以用于函数极限的研究。

我们考虑将通过数列表示的趋近 改为通过另一个实值变量描述的趋近，即 ，这即是复合函数的极限，它利用 Heine 定理可以得到说明，此时我们主动把趋近再改为数列进行描述。任取 ，其满足 ，则有 ，若满足 从某一项起恒不等于 ，则有 。因此，复合函数 ，若存在 的一个去心邻域，使得 。（子列极限也可以视作某种复合操作，其更一般的形式是 ）

Heine 定理的证明主要思路（这是将从所有子列收敛到 这一侧作为条件），是将 的取值也限制到可数集上，从而转化为数列问题；这可以取逆否命题，即假设函数不收敛到 ，则 ，都存在 的 ，使得 ，此时我们取 ，就得到了数列 ，为简便记作 ，则 ，，完成证明。一般地，我们在定义的使用中，完全可以将 的取值限制在某个下确界为 的集合（可以是可数集）上，它与我们的定义是等价的（数列极限处的一些定义等价变形也成立，此处省略）。此处对 的限制，其实是相当依赖于实数空间的性质的。

对于 Cauchy 收敛准则的迁移，收敛推出 Cauchy 仍然只依赖于三角不等式，而 Cauchy 推出收敛则可以考虑每个趋于 的数列都 Cauchy，故收敛，再证明任意两个数列的收敛值相同即可（一种方法是考虑它们拼成的数列仍然收敛，故它们收敛到同一个值）。

以上我们特别注意到去心邻域的要求，这是由于 未必与 相等。若相等，我们就称函数在 处是连续的，连续时就有 ，即极限过程与函数作用可交换，连续也等价于将定义中的去心邻域的要求加强至一般邻域，同时其性质应用时也可以去掉各类去心相关的要求。例如，应用复合函数的极限法则时， 当 在 连续时不需加入 的去心邻域内 的条件（不连续时则可构造反例，，考察 ）。集合上每一点都连续的函数称为集合上的连续函数。

去心邻域的双侧性使得单调收敛定理无法直接简单地推广，我们引入单侧极限，即截取去心邻域的一侧，这样数列的单调有界就可以方便运用到单调函数上，若 有界且单调递增，有 。事实上，单侧极限可类比于奇偶子列，两侧极限存在且相等当且仅当原极限存在，其证明可考虑 Heine 定理的数列被拆分成两个子列。

其余与数列极限无异的性质，例如四则运算、保序性等，不再赘述；不过，值得一提的是，这些无异的性质，正是只依赖于实函数值的极限的结构，而不依赖于定义域的具体极限过程的性质。

例题 3.6 设 在 上单调，. 证明：对任意 ，有 。

设为单增。对 有 。

对 有 是 或 的连乘，故为 。

对 ，由单调性，存在 ，对 ， 恒不变号，令 且 ，不妨设 此后恒正，有 ，取极限即得。

此题体现了一类可数逼近的思路，这在一类函数方程中（见后文）有应用。

无穷小量的识别

第一节习题课上我们已经引入了 记号及其简单应用。在学习函数极限之后，通过复合函数的极限，这一应用可以得到规范化，即通过“换元”，将大部分的极限过程都转化为到 的极限过程，从而专注于研究无穷小量。对 ，可以转化为 ；而 则可以转化为 ，这被理解为研究函数的局部性质。

我们的研究对象目前限于初等函数。初等函数分为两类，一类是代数函数，严格定义为方程 的解，其中 是非零二元多项式（区分多项式与多项式函数），代数函数包括可以看作两个多项式函数的比的函数，称为有理函数（当然，多项式函数是其中的一类），以及有理指数的幂函数等；另一类是超越函数，即非代数函数的函数，其代表是指数函数、对数函数与三角函数。对于一般的幂函数，我们将其理解为 。

对于代数函数，最重要的逼近来源于二项式展开，即 ，。对于超越函数，常见的最根本的逼近来源于 ，其还有 等表现形式，同时也可推出 。以后有机会可以看到，三角函数的 也可以来源于指数函数，同时 可以推出 。

对于无穷小量，我们称满足 的 为 阶无穷小，高阶无穷小可以导出高阶近似。一元微积分的一个重点即是确定 中的所有系数 （当然，也包括研究这样的多项式逼近的存在性），这样即完成了对原函数在点 处的任意阶近似。事实上，在已有的低阶近似的基础上，求取 的极限即为 。值得强调的是，若 ，我们可以有诸如 的应用，这用到复合函数的极限法则，我们可以通过这样的应用层层展开一个极限表达式，最终在理想情况下把复杂函数完全化归多项式函数进行近似；同时，正如一开始提到的，很多时候应当考虑主动构造出 ，使得无穷小进一步传递下去。

习题 3.1 试分别确定 的值，使极限等式成立。

(1)

这是求取了 时的渐近线，也即一阶近似，依次求取各阶系数。

已知 ，

则 ，，故 ，因此 。

(2)

，故 ，

。

简单情况，仍然可以选择直接使用数列时的方法，不刻意转化为无穷小量。

习题 3.2 求下列极限。

(1)

(2)

(3)

两个根号是差不多的，我们想把它们放在一起减，而不是各自在 中（注意 不是线性的！），这可以利用和差化积。

最后一步利用了有界量乘无穷小仍然是无穷小。

以下的题目主要是无穷小量转化的应用。

习题 3.3 求下列极限。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

习题 3.4 求下列极限。

(1) ，其中 ，且 。

(2) 。

(3) ，其中 为自然数。

(4)

(5)

我们遇到的困难是一阶近似不足。令人遗憾的是， 和 的高阶近似求取在目前阶段有一些麻烦，我们会在后面再回到这个题目。现在，引入一个略有技巧的方法。

首先，我们把 视作一个整体求取高阶近似，这与分子有理化等方法是相似的，我们有 。接下来，我们想要把这个近似进一步应用到分子，但现在分子上自变量和函数皆不同，考虑拆项分离自变量与函数的变化，有

故原式答案为 。

习题 3.6 求极限

习题 3.5 若 ，有 ，求证：。

已知 ，而又有 ，那么，将右边除到左边与我们要证明的式子就很相符了。我们确实有 ，取 ，则

例 3.13 试举例说明，对 ， 个 之和不一定是 。

令第 个数列为 即可，这里构造的关键是让数列较大的某项出现在与数列序号相关的位置。事实上，这与收敛的一致性有关，即我们需要保证每一个 所代表的数列，其趋于无穷小的速度需要可以得到统一控制，而不能依赖于个别数列，这一区别在后续还会学到。这里还需要注意， 是可以得到保证的。

周期性与函数方程

函数方程是含有未知函数的等式，我们从中分析该未知函数的各类分析性质，函数解的存在性、唯一性，并在适当的条件下（例如连续性条件）可以给出解。我们常常通过函数方程，加以函数满足的条件，来唯一确定一个或一族值得研究的函数。研究时，常常从取一些特殊的点出发，也可考虑迭代形成数列。函数的周期性可以视作一种特殊的函数方程，其与连续等条件结合起来，则可以带来许多与有界有关的性质（特别是在无穷远点）。

习题 3.8 设 是 上的周期函数，且 ，试证 。

反证。设周期为 ， 不恒为 ，则存在 ，有任意 ，存在 ，使得 ，则 。

习题 3.9 设函数 在 内满足方程 ，且 ，试证 。

反证。假设 ，我们希望迭代使用 构造出一个数列，利用 Heine 定理推出矛盾。注意到 在 时趋于 ， 时趋于 ，因此需要对称分类讨论。在此只讨论 ，此时有 ，矛盾。

习题 4.7 设函数 满足 ，且在 两点连续，证明 是常值函数。

对 ，取 ，则 ；对 ，取 ，则 。对 ，以上两步均成立，故 。对 ，则 。

例题 4.4 证明以下结论：

(1) 设 ，若 在 处连续，则 。

这是在证 上连续的加性函数一定是线性的，与线性代数有重要的关系。我们有 ，则 。，则 ，，，于是我们证明了对于有理数 有 。

对任意实数 ，取有理数列 ，有 ，取极限，由 处的连续性，就得证 。

(2) 设 ，若 在 上有界，则 。

有界和加性（整数乘）结合起来，就可以让足够小的邻域中的值足够小。假设 ，则 ，都存在 ，使得任意 ，都有 ，这就是说 在 处连续，由 (1) 完成证明。

(3) 设 。若 在 处连续，则 或 。

当 时 。否则，，，由 排除 。取对数，有 ，故 ，。

(4) 设 。若 在 处连续，则 或 。

令 ，则 ，有 ，。

习题 4.12 设连续函数满足 ，试证 。

要证的与线性函数十分相似（事实上，这就是一条直线，可以转写为 ），考虑转化，即需要构造出线性函数所满足的方程（注意 ）。令 ，则 ，则 ，故有 。令 ，则 ，其解为 ，则 。