Probability and Statistics

概率论的知识遗忘得太多了。重启概率论的笔记，会包含简单的随机过程和数理统计。主要参考李贤平《概率论基础》、叶俊老师的《随机数学》与茆诗松《概率论与数理统计》。也参考 David Williams Probability with Martingales 和 Durret Probability: Theory and Examples。

序言：随机数学

Preface: Stochastic Mathematics

概率与统计都源于对随机现象的描述，因而都可以归入随机数学之下，尽管这一术语并不十分常用。概率是对可能性的量度。现代概率论建立在测度论的基础之上，并进一步引入条件、独立等结构，从而形成严密的数学体系。其中，条件——更准确地说，条件期望——使我们能够根据信息的变化重新认识随机对象；在随机过程中，信息随时间不断积累，这种思想便得到最充分的展开。因此，若完全不触及随机过程，概率论的核心便难以得到充分呈现。统计则以概率论为基础，主要研究抽样过程中样本与未知总体或统计模型之间的关系，是一门更偏向推断与应用的学问。

本笔记总体分为三个部分。前四章为概率论基础，同时给出随机过程的基本定义与若干简单例子，并建立统计推断所需的概率基础；第五、六章为随机过程选讲，第七、八章为统计选讲。阅读时不难注意到，每一章的标题都由两个对象组成，尽管它们之间的关系不尽相同。其中缘由，除了笔者突生的兴致以外，还在于两个对象之间的关系，几乎正是每一章试图传达的核心。此外，由于分属的部分是清晰的，章节标题中故意略去了“概率”“统计”“随机”等字样，希求借此达到直指核心的效果。

笔记的组织遵循以下两个原则：其一，不堆砌例子，而使例子在真正重要的时刻出现，让例子成为概念的寄托；其二，注重动机与系统，既阐释较为严格的数学结构，也试图说明是什么问题与需要引导出了这样的结构。由此，希望能够将概率与统计中的大量数学对象有条理而不失趣味地串联起来。