连续点与间断点

左右皆连续等价于连续，这是由于左右皆连续等价于左右极限皆存在且等于该点函数值。第一类间断点是左右极限均存在的情形，其中左右极限相等则称为可去间断点，否则称为跳跃间断点；第二类间断点是左右极限至少有一个不存在的情形，注意极限为无穷也属于此类。

（或开区间）上的单调函数只有第一类间断点，且都是跳跃间断点；这是由于单调有界定理保证左右极限均存在，而左右极限相等时单调性使其必然等于函数值。第二类间断点可以是整个 ，例如在任意处均不连续的 Dirichlet 函数 ；第一类间断点可以稠密，考虑 Riemann 函数 ，其中 互质，每一个有理数点均为可去间断点，而在无理数点连续（邻域内只有有限个小分母的有理数）。不过，可以补充说明的是，第一类间断点可数，即可以预期第一类间断点不会太多，证明方法可以为每一个第一类间断点 分配一个有理数三元组 ， 是介于 和 间且不与三者中任意一个相等的一个有理数，开区间 间的函数值在 同侧， 间亦然，这样的分配是单射，这是由于 是 内唯一使得 成立的第一类间断点（对可去间断点，可以选取 将 与两侧邻域中的函数值分开；对跳跃间断点，可以选取 将左右两侧邻域中的函数值分开）。

例题 4.7 设函数 在 上至多只有可去间断点，令 ，证明 是连续函数。

注意 在连续点处与 具有相同的函数值，即只是把可去间断点处用极限代替。根据 定义有 ，由保序性 ，这就证明了连续。

这说明了可去间断点的确实可去。若还有其余类型间断点，将所有可去间断点处的函数值修改为相应的极限值后，仍由上述证明可说明（只需在无极限时将由保序性直接改为由 ），原本连续点与可去间断点仍均变为连续。同时，原本的跳跃间断点仍然是跳跃间断点，原本的第二类间断点可能变成连续点，例如 替代后 处即变为连续点。

习题 4.1 讨论连续性，判断间断点属性。

(1)

注意对极限过程而言， 是不变的。化简得 故有两个跳跃间断点 。

(2)

化简得 ，而 处 不存在。则 为跳跃间断点， 为可去间断点。

(3)

是第二类间断点（趋于无穷）。 是可去间断点，。 是跳跃间断点，。

习题 4.2 设分段函数 ，试问 取何值时 是连续点。

右连续且右极限为 ，则左极限需为 。，则 。

习题 4.3 讨论 在 处的连续性及间断点类型。

当 时，，故连续。当 时，存在数列 ，使得 ；同时对 ，有 ，故不连续，且是第二类间断点。

习题 4.5 构造函数 ，只在 三点连续，其余点均为第二类间断点。

我们从处处不连续的 入手，先构造出一个在 处连续的函数，考虑让我们的函数越靠近 绝对值越小，在 处为 ，最简单的方式就是 。于是，要使得其在 连续，构造 即可。

区间与闭区间

区间是实数轴上的连通集合。所谓连通，在实数上可以理解为集合中任意两点 ，满足 的所有点 仍然属于该集合，这等价于对任意不在集合中的实数 ，集合均在 的同侧。

闭区间和开区间的意义是不同的。闭区间中的任意收敛数列都收敛在闭区间中，可以理解为对极限封闭，我们把这样的集合称为闭集，闭集对有限并和任意交封闭（即有限多个闭集的并是闭集，任意多个闭集的交是闭集），如单点 是闭集。假如我们再限定闭集有界，则结合 Bolzano-Weierstrass 定理（列紧性定理），其中所有数列都有子列收敛到其中（这称为列紧性，在实数上等价于紧性），我们称这样的集合为（列）紧集。满足列紧性的 中集合都是有界闭集，有界性由无界时可取出不存在收敛子列的数列 得到，闭性由收敛数列的收敛子列收敛至集合内得到。开区间中，每个点都可以找到完全包含于原本开区间的邻域，即每个点在局部都还有余量使其不超出开区间（可以理解为每个点到外部的距离都是非零的），我们把这样的集合称为开集，开集对有限交和任意并封闭（可以证明，实数上的开集一定是可数个开区间的并）。特别地，一个集合是闭集当且仅当它的补集是开集， 与 是 中唯二既是开集也是闭集的集合。

我们在闭区间套定理和有限覆盖定理中分别对闭区间和开区间的不同进行进一步理解。由于这两个定理在实数中均与列紧性定理等价，在 上可以认为它们只起到简化证明的作用。

对有界闭区间套 ，我们有 单调上升趋于 ， 单调下降趋于 ，且 ，对 取极限则 ，又 有 ，取极限得 ，故 。若此处是开区间套，则没有这么好的结论，例如 ，而 ，闭区间保证了区间套的端点收敛在原本的每一个区间里。

有限覆盖定理中，被覆盖的区间需要是有界闭的，例如 的可数开覆盖 中，就无法找出有限覆盖；事实上，任何紧集都可以应用有限覆盖定理，而满足有限覆盖定理这一性质，在一般的情形下被称为紧性，在 上其与列紧性等价，我们通常使用列紧性方便操作。同时，只有在用于覆盖的是开区间（一般地，可以是开集）时可以保证得到有限覆盖，例如 的覆盖 也不可以找出有限覆盖。

连续函数把区间映为区间（可退化为单点），这称为连续函数保连通性；但是，只要用到区间中对连通的描述，取出 后，我们自然就得到了一个界，于是就转化为了有界闭区间上的介值问题。设 ，我们要证的是 可取遍 之间的实数；记 ，不妨设 ，我们限制 ，证明其可以取遍 ，这就是介值定理，其显然不弱于原命题，而令 就是有界闭区间，取端点函数值知它与原命题等价。对任意 ，考虑构造闭区间套将满足 的 套出来，这只需要让 ，同时在整个过程中保持 （这是对 的情形，下同，若 则反之），则有 ，且 ，即 ，取 ，其中 即是一种构造。自然这也蕴含了零点定理，即函数值异号的区间内有零点。

连续函数把有界闭区间映为有界闭区间。更一般性的结论是，连续函数把紧集映为紧集，即连续函数保紧性，这结合把区间映为区间即得到前一结论。设 为紧集，任取 （ 称为像集，表示 ），则存在 使得 ，取 的收敛子列 ，则 ，这就证明了 是紧集。开区间不能保证函数值有界，考虑 上的 即可。

最后，我们考察开区间 和闭区间 的关系；显然它是补充了两个端点，而这两个端点的特殊之处在于其是 上唯二不在 内，且存在 中数列收敛到它的点。我们称集合 的闭包 为 中数列在 中收敛点的集合，此处的想法即为迫使其拥有闭集的性质，可以证明它是 上包含原集合的最小闭集；特别地，开端点取闭包变为闭端点，，所谓 在 稠密即等价于 。对应地，称集合 的内部 为有完全包含于 的邻域的点的集合，可以证明它是 上包含于原集合的最大开集。 称为 的边界，其邻域必定有包含于 的非空部分和不包含于 的非空部分。

习题 4.8 设 ，且 ，试证：。若将闭区间换作开区间是否成立？

令 ，则 ，由介值定理，，即 。换成开区间不一定成立，只需让唯一 取在端点，例如 。

习题 4.9 设 是区间 上的连续函数，证明：，使得 。

先想到消元，构造 ，有 ，由介值定理， 可以取到两端点函数值平均值 。

习题 4.10 设 ，试证 。

令 ，取得最大、最小值的点记作 ，则 ，在区间 中取得 。

习题 4.11 设 ，且存在 ，使得 ，满足 。证明：。

从任意 出发，取 满足 ，则 ，取 的收敛子列 ，则 。

不过，由于 是 可能的最小值，此题也可用最值定理。设 是 在 上的最小值点，存在 满足 ，故只有 。

连续函数类

记 为在 上连续的函数的总体，研究其在什么运算下可以封闭。给定定义域上，初等函数是连续函数，连续函数在四则运算和复合下在定义域上保持连续，这是我们所研究的连续函数的重要来源。

考虑定义域的变化，若 上函数 与 上函数 均连续，且 ，那么 上分段函数 也连续，这考虑 处左右均连续即可。

定义域的变化还与连续函数的延拓有关，即扩大定义域并保持连续性。在此，我们讨论一种特殊情况，即把 上的连续函数 延拓到 上，例如把 上的连续函数延拓到 上。当 有界时， 有界，则 是紧集，故任意趋于 的数列 ，需满足 。然而，由于 不一定在 中，我们不考察一个数列本身，而是考察两个趋于 的数列的相对关系，对任意的 ，我们令 ，这等价于前述条件，因若存在不满足函数值差趋于 的 ，取 使得 ，再取 的收敛子列，仍记作 ，有 ，但 。我们把这样的性质称为在 上一致连续，在 有界时，能够连续延拓到 的充要条件是 在 上一致连续，这样的延拓是唯一的，且延拓后仍然一致连续；若 无界，一致连续仍然是充分条件，且可保证延拓后的唯一性和一致连续性，而等价条件由将两数列改为只考虑 Cauchy 列给出（同时，这也等价于将 Cauchy 列映到 Cauchy 列），此时能保证延拓唯一。

一致连续也等价于 ，即在一般的在 上连续中，使得 不依赖于 ，因此它强于一般连续。紧集上的连续等价于一致连续，这仍然可以使用列紧性证明。可以补充的是，一致连续可以控制增长速度，保证 ，即不会超过某个一次函数。

例题 4.3 设 ，证明 。

按上述分段函数的判据可知绝对值函数连续，故 与 均连续。

习题 4.6 记 为 中处于中间的一个值，设 ，令 ，试证 。

习题 4.4 称函数列 在 上一致有界，若 ，试问对 上一致有界的连续函数列 ， 是否是 上的连续函数？

不一定。只需要让某个点处越来越陡，最终使得其取下确界时间断。取 ，则 是不连续的。

因此，虽然有限多个连续函数的最小值是连续的，但无穷多个集合的下确界并不一定。

自测 4.3 设 是两个实函数，判断正误。

(1) 若 ，则 。

错误。反例上节课已举出。

(2) 若 在 中每一点的极限均存在且有限，则 有界。

正确。分三段，，后两段被控制在无穷远点极限附近。对第一段中每个 ，设邻域 的函数值被控制在 ，则所有邻域构成闭区间 的开覆盖，有有限覆盖，那么这些有限覆盖对应的界的并仍然是一个有界区间，故有界。这里用到有限覆盖定理的主要动机是无穷个有界区间的并不一定是有界的，而从中挑取有限个后，则可以保证并有界。若不熟悉有限覆盖，可使用列紧性定理做，它们在此等价。

(3) 若 连续且 单调有界，则 存在且有限。

错误，这主要是由于我们对 的定义为 。

(4) 若 连续且 有界，则 有界。

正确。， 在有界区间上有界。

自测 4.4 设 ，判断正误。

(1) 若 有界，则 与 均存在且有界。

错误。极限可以不存在，令其振荡，考虑 。

(2) 若 无界，则 或 。

错误。极限可以不存在，令其振荡，考虑 。

(3) 若 ，则 有界。

正确。分三段，，各自有界 。

(4) 若 为周期函数，则 有界。

正确。 有界，而所有点的函数值都在此界内。

自测 4.5 判断正误。

(1) 若 ，都有 ，则 。

错误。令 ，其余点函数值为 ，仍不违反。

(2) 若 在 上连续且 为周期函数， 则 在 上一致连续。

正确。考虑足够大的闭区间，例如取作 内，其连续故一致连续（不取作一个周期是为说明端点处情况）。由周期性，这里的控制可以被复制到任意地方。

(3) 若 在 上一致连续，则 在 上有界。

错误。一致连续只是说明在任意一个局部都被同样控制。反例由 给出。

(4) 若 在 上连续且有界，则 在 上一致连续。

错误。考虑 ，振荡的频率越来越高，不被一致控制。

习题 4.13 讨论一致连续性。

(1)

，非一致连续。

(2)

，非一致连续。

(3)

令 ，则 ，在 一致连续，故在 一致连续。

(4)

有界区间上无界，故非一致连续。

(5)

， 上的周期连续函数一致连续。