以下讨论均取欧氏空间上的内积及其诱导的 -范数、距离与拓扑， 指极限过程中有 。函数 在点 处连续可定义为 ，可微可定义为存在线性映射 ， ，极限过程均为 。特别地，此处的线性映射是一个线性泛函。由定义首先可知可微必定连续，这是由于 ，其中 是线性映射的算子范数，定义为 。

以上定义并不依赖于任何的坐标，但这也给分析带来了困难。为此，首先化归一元情形，定义 处沿单位向量 的方向导数为 ，则若可微，有 存在，方向导数也记作 等。取一组标准正交基 进行坐标化，记基下的坐标为 ，定义 处的偏导数为 ，也记作 等。标准正交基带来的好处是，任一向量 可以借由内积直接读出在基向量上的坐标，于是 ，记 ，称此向量为 在 处的梯度，则得到 ，于是可微点处的线性泛函 可由此内积表示，可微点处方向 上的导数也可由此写为梯度与方向的内积。注意到各偏导数存在时已可以写出唯一可能的候选梯度向量，此时判断是否可微也可等价转化为判断 是否成立。

下面研究方向导数、特别是偏导数的存在性，以及这些导数作为点的函数的连续性，与原始函数连续性、可微性的关系。此处的例子将注重平面上的情形，其中最重要的方法是重新参数化，将函数转化为极坐标下的函数。这是由于在构造原点处的反例时，连续和可微本身要求的便是在 -范数下的控制，这与极坐标的径向参数是完全一致的，而角度则直接区分了各个方向。记坐标转换函数 ，，在非原点处，适当选取角度的局部分支后， 与局部的 均光滑，因此 与 在对应点处具有相同的连续性和可微性。原点处所有 对应同一个点，则函数的良定义需要 。此时 的连续性等价于 ，即对 一致，这是由于 连续时对 的控制与 无关，则一致，而对 一致时 有 连续。类似转化可微判断为是否有 ，其中 若存在，则等于 在原点处的梯度。同时，原点处沿 的方向导数存在，当且仅当 与 存在且相等，它们的值即为对应方向导数，可微时等于 。

以上已备齐工具，以下给出几组反例与结论。

前述已经明确可微可以推出任意方向导数存在，特别地，各偏导数也存在。然而，即使所有方向导数都存在，函数仍可能不可微。为构造此反例，不妨先设 ，同时使得 ，则原点处沿 的方向导数即为 ，这需保证 。此时只需使 不可写为 的形式，例如取 ，则 即为反例，且该反例还满足在原点处连续。若进一步希望在原点处各方向导数可写成 的形式，不妨直接考虑各方向导数均为 ，此时不可微需由各方向收敛速度不一致得到。一个想法是为分母引入趋于 的含 项，同时分母需要含 项来避免非原点处 时函数值的无穷，这又需要分子引入趋于 的含 项来平衡，于是考虑 ，这正是各方向导数均为 但不可微的反例，此时 。

所有方向导数存在甚至不能保证函数的连续性，做法是破坏 的收敛对 的一致性，设 ，即 ，此即一反例；易见 换作 也是一反例，此时沿 趋近原点的极限为 。若想在此基础上保证除原点外其余点的连续性，则需区分 时与 时的行为，使得无穷被控制，这可以通过复合函数实现，需要寻找一个函数 ，将 作为最终的答案，这要求 ， 在 上具有较好的光滑性但不是常数，为与前文 统一再要求 ，于是可取 ，则此时的 。

考虑 ，则偏导数存在，且在各自坐标轴上作为一元函数连续，其余方向导数均不存在，此时 还满足连续。

函数可微时，方向导数在原点处每个方向可均不连续，只需考虑一元中例子 ，用 控制原始函数振荡，但导数中出现 的振荡；此时直接令 ，即 即可。

最后给出一个正面的充分条件，偏导数连续可推出可微，此处需注意偏导数连续蕴含了邻域内偏导数存在，且偏导数的连续定义为多元函数意义下的连续性。基本的思想即将多元增量拆成每个坐标依次进行的一元增量，利用微分中值定理控制各坐标增量，再利用偏导数连续将各偏导数均控制在指定点的对应偏导数附近。简洁起见只对二元进行证明。对 设增量为 ，则

最后一步即用到偏导数作为多元函数的连续性，同时用到了 的控制，至此完成了证明。还可注意到这个证明几乎可以直接迁移到任意一组基的方向导数上，而不依赖于基的正交性。